Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $3$ est la matrice carrée $3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{3}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 9 & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 9 - λ & 18 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 9 - λ & 18 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 \\ - 3 + 0 & 9 - λ & 18 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 \\ - 3 & 9 - λ & 18 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez $18$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 \\ - 3 & 9 - λ & 18 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez $2$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 \\ - 3 & 9 - λ & 18 \\ 2 & - 3 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 \\ - 3 & 9 - λ & 18 \\ 2 & - 3 & - 6 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 - λ & 18 \\ - 3 & - 6 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 18 \\ - 3 & - 6 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 18 \\ 2 & - 6 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 18 \\ 2 & - 6 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 9 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 9 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 18 \\ - 3 & - 6 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 18 \\ 2 & - 6 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 9 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 3 & 18 \\ 2 & - 6 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 18 \\ - 3 & - 6 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 9 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 3 & 9 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 18 \\ - 3 & - 6 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Étape 5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 9 - λ & 18 \\ - 3 & - 6 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((9 - λ) (- 6 - λ) - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Étape 5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Développez $(9 - λ) (- 6 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (3 - λ) (9 (- 6 - λ) - λ (- 6 - λ) - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Étape 5.4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (3 - λ) (9 \cdot - 6 + 9 (- λ) - λ (- 6 - λ) - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Étape 5.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (3 - λ) (9 \cdot - 6 + 9 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Étape 5.4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.2.1.1

Multipliez $9$ par $- 6$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 + 9 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 - 9 λ - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 - 9 λ + 6 λ - λ (- λ) - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 - 9 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 - 9 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 - 9 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 - 9 λ + 6 λ + 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 - 9 λ + 6 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Étape 5.4.2.1.2.2

Additionnez $- 9 λ$ et $6 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 - 3 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 18)) + 0 + 0$

Étape 5.4.2.1.3

Multipliez $- (- 3 \cdot 18)$ .

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Étape 5.4.2.1.3.1

Multipliez $- 3$ par $18$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 - 3 λ + λ^{2} - - 54) + 0 + 0$

Étape 5.4.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 54$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 54 - 3 λ + λ^{2} + 54) + 0 + 0$

Étape 5.4.2.2

Associez les termes opposés dans $- 54 - 3 λ + λ^{2} + 54$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Additionnez $- 54$ et $54$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 3 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0$

Étape 5.4.2.2.2

Additionnez $- 3 λ + λ^{2}$ et $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 3 λ + λ^{2}) + 0 + 0$

Étape 5.4.2.3

Remettez dans l’ordre $- 3 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 3 λ) + 0 + 0$

Étape 5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.1

Associez les termes opposés dans $(3 - λ) (λ^{2} - 3 λ) + 0 + 0$ .

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Étape 5.5.1.1

Additionnez $(3 - λ) (λ^{2} - 3 λ)$ et $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 3 λ) + 0$

Étape 5.5.1.2

Additionnez $(3 - λ) (λ^{2} - 3 λ)$ et $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 3 λ)$

Étape 5.5.2

Développez $(3 - λ) (λ^{2} - 3 λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 3 (λ^{2} - 3 λ) - λ (λ^{2} - 3 λ)$

Étape 5.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 3 (- 3 λ) - λ (λ^{2} - 3 λ)$

Étape 5.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 3 (- 3 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ)$

Étape 5.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 9 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ)$

Étape 5.5.3.1.2

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.1.2.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 9 λ - (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ)$

Étape 5.5.3.1.2.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.5.3.1.2.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 9 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ)$

Étape 5.5.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 9 λ - λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ)$

Étape 5.5.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 9 λ - λ^{3} - λ (- 3 λ)$

Étape 5.5.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 9 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ$

Étape 5.5.3.1.4

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.1.4.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 9 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ)$

Étape 5.5.3.1.4.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 9 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2}$

Étape 5.5.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 9 λ - λ^{3} + 3 λ^{2}$

Étape 5.5.3.2

Additionnez $3 λ^{2}$ et $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 9 λ - λ^{3}$

Étape 5.5.4

Déplacez $- 9 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - λ^{3} - 9 λ$

Étape 5.5.5

Remettez dans l’ordre $6 λ^{2}$ et $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

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Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1.1

Factorisez $- λ$ à partir de $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ$ .

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Étape 7.1.1.1

Factorisez $- λ$ à partir de $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} + 6 λ^{2} - 9 λ = 0$

Étape 7.1.1.2

Factorisez $- λ$ à partir de $6 λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - 9 λ = 0$

Étape 7.1.1.3

Factorisez $- λ$ à partir de $- 9 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9 = 0$

Étape 7.1.1.4

Factorisez $- λ$ à partir de $- λ (λ^{2}) - λ (- 6 λ)$ .

$- λ (λ^{2} - 6 λ) - λ \cdot 9 = 0$

Étape 7.1.1.5

Factorisez $- λ$ à partir de $- λ (λ^{2} - 6 λ) - λ (9)$ .

$- λ (λ^{2} - 6 λ + 9) = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 7.1.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- λ (λ^{2} - 6 λ + 3^{2}) = 0$

Étape 7.1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 λ = 2 \cdot λ \cdot 3$

Étape 7.1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$- λ (λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Étape 7.1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = λ$ et $b = 3$ .

$- λ {(λ - 3)}^{2} = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$λ = 0$

${(λ - 3)}^{2} = 0$

Étape 7.3

Définissez $λ$ égal à $0$ .

$λ = 0$

Étape 7.4

Définissez ${(λ - 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.4.1

Définissez ${(λ - 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(λ - 3)}^{2} = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez ${(λ - 3)}^{2} = 0$ pour $λ$ .

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Étape 7.4.2.1

Définissez le $λ - 3$ égal à $0$ .

$λ - 3 = 0$

Étape 7.4.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 3$

Étape 7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- λ {(λ - 3)}^{2} = 0$ vraie.

$λ = 0, 3$